HDU 6237 题解
题目大意
有 \(n\) 堆石子，每次可以任意从其中一个移动到另一个上，算作一次操作。结束状态是对于当前所有石子堆个数，存在一个公因子 \(x\) 且 \(x>1\)，问可能的最少步数。
题解
我们先去考虑一下最终状态会是什么样子，设最终每一个石子堆个数变为 \(c[i]\)，存在 \(x>1\) 使得 \(x\mid c[i]\) 对任意 \(i\) 成立，我么就会有： \[
x\mid c[1]+c[2]+\cdots+c[n]
\] 设\(s=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{c[i]}\)，由于每次操作不会改变总数，则初始状态的和依然为 \(s\)，所以我们发现，\(x\) 一定是 \(s\) 的因数，故我们把初始的 \(a[i]\) 求和得到 \(s\) ，便可以对其质因数分解，只用在这些质因数里枚举就可以了。
假设枚举到 \(s\) 的质因数 \(x\)，由于只需要是 \(x\) 的倍数，所以我们考虑 \(x\) 的同余系，对 \(a[i]\) 每个数取模 \(x\)，由于保证答案一定存在，我们计算取余后的数组和 \(t\)，则最终需要“凑整”的堆数即为 \(\displaystyle k=\frac{t}{c}\)，把取模后的数组排序，取前 \(k\) 大的补全为 \(x\)（从末尾比较小的补过去），更新得到最小的步数即为答案。
代码
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename _Tp>
void read(_Tp &a, char c = 0, int f = 1) {
for(c = getchar(); !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
for(a = 0; isdigit(c); a = a * 10 + c - '0', c = getchar()); a *= f;
}
template <typename _Tp>
void write(_Tp a) {
if(a < 0) putchar('-'), a = -a;
if(a > 9) write(a / 10); putchar(a % 10 + '0');
}
const int N = 1e5 + 5;
bool vis[N];
int p[N], tot;
void sieve(int n) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!vis[i]) {
p[++tot] = i;
}
for(int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; j++) {
vis[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
}
int n, a[N], c[N];
int main() {
sieve(1e5 + 5);
int T;
read(T);
while(T--) {
read(n);
ll s = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
read(a[i]);
s += a[i];
}
vector<ll> b;
ll _s = s;
for(int i = 1; p[i] <= s / p[i] && i <= tot; i++) {
if(s % p[i] == 0) {
b.push_back(p[i]);
while(s % p[i] == 0) {
s /= p[i];
}
}
}
if(s > 1) {
b.push_back(s);
}
ll _ans = 1e10;
for(auto x : b) {
ll t = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
c[i] = a[i] % x;
t += c[i];
}
ll k = t / x;
assert(t % x == 0);
sort(c + 1, c + n + 1, greater<int>());
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= k; i++) {
ans += x - c[i];
}
_ans = min(ans, _ans);
}
write(_ans), putchar('\n');
}
return 0;
}
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